Problemas matemáticos digitales

José Garay, profesor de la Universidad de Zaragoza, presentó en 2011 el séptimo desafío de EL PAÍS con el que celebramos el centenario de la Real Sociedad Matemática Española.  Aquí os presento el problema:

Nota importante: Para evitar dudas y en atención a nuestros lectores sordos, incluimos a continuación el enunciado del problema por escrito.

Enunciado: Sabemos que al pulsar las teclas blancas de un piano se reproducen periódicamente las siete notas de la escala musical Do, Re, Mi, Fa, Sol, La y Si. Por lo tanto aunque el piano tenga muchas teclas, solamente podemos escuchar las siete notas de la escala, eso sí, en diversas octavas. Los pianos reales tienen un número limitado de teclas, pero para nuestro problema vamos a imaginar un piano con un teclado tan largo como nos sea necesario. E imaginaremos que pulsamos SÓLO las teclas blancas.

Primero pulsamos el primer Do que tenemos por la izquierda. A continuación pulsamos la siguiente tecla, que naturalmente será un Re. Luego saltamos una tecla y tocamos el Fa. Ahora saltamos dos teclas y tocamos el Si. Seguidamente saltamos tres teclas y tocamos el Fa, ya en la segunda octava. Y continuamos el proceso saltando cada vez una tecla más que la vez anterior. Como hemos supuesto que nuestro piano tiene tantas teclas como queramos supongamos que hemos llegado a tocar 7.000 teclas. Y hacemos dos preguntas:

1. ¿Cuántas teclas habremos tocado que corresponden a la nota Do?

2. ¿Habrá alguna nota que no haya sido pulsada en ningún momento?

Aclaración: Por si acaso alguien se confunde y piensa que nuestro piano tiene solo 7.000 teclas, hemos de insistir en que 7.000 es el número de teclas que tocamos, y dado que entre dos teclas pulsadas hay muchas que no se tocan, se deduce que nuestro imaginario piano tiene muchas más que esas 7.000. Y aunque este número no es necesario para resolver el problema podemos afirmar que el piano debe tener unos 24 millones y medio de teclas blancas.

Os aseguro que es muy sencillo, no se necesita ninguna fórmula aunque él lo demuestre con conceptos de sucesiones. La clave es la intención con algo de intuición y así aproximarse al resultado.

Hoy en día, conforme están cambiando las cosas en la Educación Española (por fin) con las Leyes (LOE-LOMCE) y la importancia de ser alguien competente para la vida y no inteligente o el hecho de sacar notas altas, nos está haciendo ver las matemáticas (como el resto de materias) de otra manera.

Con este problema, quiero haceros llegar que no es tan importante que resolváis el problema, sino la capacidad de afrontarlo vosotros mismos, dedicar vuestro tiempo a reflexionar y que cuando terminéis os sintáis realizados y competentes para los retos de vuestra vida. 

Aquí os dejo la solución.