domingo, 27 de diciembre de 2015
LEY DE LOS SENOS
La ley de los senos establece que en cualquier triángulo la relación de cualquiera de sus lados al seno del ángulo opuesto es constante.
Escrita como fórmula, la ley de los senos es la siguiente:
a / sen A = b / sen B = c / sen C
APLICACIÓN
1)Resolver el siguiente triángulo:
El tercer ángulo del triángulo es:
C = 180° – A – B = 180° – 30° – 20 ° = 130°
Por la ley de los senos:
Por las propiedades de las proporciones:
2) Resolver el siguiente triángulo:
El tercer ángulo del triángulo es:
C = 180° – A – B = 180° – 42° – 75° = 63°
Por la ley de los senos:
Por las propiedades de las proporciones:
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
sen α= cateto opuesto / hipotenusa = co / h
cos α= cateto contiguo / hipotenusa = cc /h
tg α= cateto opuesto / cateto contiguo = co /cc
Vamos a utilizar las razones trigonométricas para ver cómo se resuelven algunos triángulos rectángulos:
* Dado un lado y un ángulo:
En este caso nos dan el ángulo y la hipotenusa de manera que podemos usar el seno y el coseno para hallar los lados que faltan:
sen 26= cateto opuesto / hipotenusa = co / 45
pasamos el 45 multiplicando de manera que
co=45*sen26= 19.73
Ya tenemos:
Ahora hay varias maneras de proceder. Podríamos calcular el cateto contiguo al ángulo de 26º utilizando la fórmula del coseno, esto es:
cos 26 = cateto contiguo / hipotenusa = cc / 45
pasamos el 45 multiplicando de manera que
cc = 45*cos 26 = 40.44.
O podríamos utilizar el teorema de pitágoras: la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los catetos cada uno de ellos al cuadrado, esto es,
45² = 19.73² + cc²
cc² = 45²-19.73²
y haciendo la raíz cuadrada obtenemos el mismo resultado
cc = 40.44.
Nos será indiferente utilizar un método u otro.
SENO Y COSENO
El chiste:
A: Estoy algo preocupada por la obsesión de Math por encontrar a diferencia entre seno y coseno
B: No te preoocupes. Solo es una fase. jejeje
Muy gracioso y... cierto también.
No es mi intención confundir al lector cuando digo que seno y coseno son lo mismo sino explicar por qué se dice esto.
Cuando representamos la función sen(x) en una gráfica de manera que le damos todos los valores posibles a x y vemos qué se obtiene para sen(x) obtenemos esto:
donde si representamos los puntos A = sen(0)=0, B= sen(1) = 0.84, C=sen(2) = 0.92, D= sen(3)=0.14, E= sen(4) = -0.76 y F=sen(5) = -0.96 se puede obtener una vista más clara de lo que digo.
Sin embargo, cuando del mismo modo representamos la función coseno(x) se obtiene:
que no es otra cosa que un "seno desplazado" con un "desplazamiento de fase" (de ahí el chiste).
¿Cuánto se desplaza? Se desplaza exactamente una distancia de Π/2, es decir, si representamos ahora sen(x+Π/2):
¿Sorprendente? ¡Se obtiene lo mismo! Pruéblao con tu calculadora.
sen(x + Π/2) = cos(x) para todo x.
Esto quiere decir que: sen(1 + Π/2) = cos(1) , sen(2.33 + Π/2) = cos(2.33), etc.. (tan largo como la cantidad de números reales que existen).
sábado, 28 de noviembre de 2015
Problemas matemáticos digitales
José Garay, profesor de la Universidad de Zaragoza, presentó en 2011 el séptimo desafío de EL PAÍS con el que celebramos el centenario de la Real Sociedad Matemática Española. Aquí os presento el problema:
Nota importante: Para evitar dudas y en atención a nuestros lectores sordos, incluimos a continuación el enunciado del problema por escrito.
Enunciado: Sabemos que al pulsar las teclas blancas de un piano se reproducen periódicamente las siete notas de la escala musical Do, Re, Mi, Fa, Sol, La y Si. Por lo tanto aunque el piano tenga muchas teclas, solamente podemos escuchar las siete notas de la escala, eso sí, en diversas octavas. Los pianos reales tienen un número limitado de teclas, pero para nuestro problema vamos a imaginar un piano con un teclado tan largo como nos sea necesario. E imaginaremos que pulsamos SÓLO las teclas blancas.
Primero pulsamos el primer Do que tenemos por la izquierda. A continuación pulsamos la siguiente tecla, que naturalmente será un Re. Luego saltamos una tecla y tocamos el Fa. Ahora saltamos dos teclas y tocamos el Si. Seguidamente saltamos tres teclas y tocamos el Fa, ya en la segunda octava. Y continuamos el proceso saltando cada vez una tecla más que la vez anterior. Como hemos supuesto que nuestro piano tiene tantas teclas como queramos supongamos que hemos llegado a tocar 7.000 teclas. Y hacemos dos preguntas:
1. ¿Cuántas teclas habremos tocado que corresponden a la nota Do?
2. ¿Habrá alguna nota que no haya sido pulsada en ningún momento?
Aclaración: Por si acaso alguien se confunde y piensa que nuestro piano tiene solo 7.000 teclas, hemos de insistir en que 7.000 es el número de teclas que tocamos, y dado que entre dos teclas pulsadas hay muchas que no se tocan, se deduce que nuestro imaginario piano tiene muchas más que esas 7.000. Y aunque este número no es necesario para resolver el problema podemos afirmar que el piano debe tener unos 24 millones y medio de teclas blancas.
Os aseguro que es muy sencillo, no se necesita ninguna fórmula aunque él lo demuestre con conceptos de sucesiones. La clave es la intención con algo de intuición y así aproximarse al resultado.
Hoy en día, conforme están cambiando las cosas en la Educación Española (por fin) con las Leyes (LOE-LOMCE) y la importancia de ser alguien competente para la vida y no inteligente o el hecho de sacar notas altas, nos está haciendo ver las matemáticas (como el resto de materias) de otra manera.
Con este problema, quiero haceros llegar que no es tan importante que resolváis el problema, sino la capacidad de afrontarlo vosotros mismos, dedicar vuestro tiempo a reflexionar y que cuando terminéis os sintáis realizados y competentes para los retos de vuestra vida.
Aquí os dejo la solución.
miércoles, 25 de noviembre de 2015
Hermosa aplicación
El Arcoiris
Descartes simplificó el estudio del arco iris reduciendo el caso al estudio de la trayectoria de un rayo de luz dentro de una gota de agua esférica suspendida en la atmósfera. El arco iris puede aparecer no sólo en la atmósfera sino donde tengamos gotas de agua en suspensión y luz del sol detrás de nosotros iluminándolas. La explicación de Descartes se basó en la refracción y la reflexión de la luz dentro de la gota e hizo un gráfico de la trayectoria seguida por diversos rayos. Una buena aproximación es suponer que los rayos que salen radialmente del sol llegan paralelos a la gota por estar el sol a gran distancia.
Reflexión rayos
Fuente José Villasuso Gato
El rayo 1 entra en la gota a lo largo del diámetro y se refleja en la misma dirección que traía. El segundo, que entra por encima del 1, sale en la dirección marcada por dos (por debajo y próximo, formando un pequeño ángulo )
Seguimos estudiando el comportamineto de rayos que entran cada vez más separados del 1. Al llegar al rayo llamado "L" se alcanza una desviación con el rayo incidente de 42º , y el conjunto de los rayos entrantes entre el "L" y el "M" salen todos concentrados sobre la misma desviación de 42º (para rayos rojos). Descartes dijo que se concentraban entre 41º y 42º . Por encima del rayo "M" se desvían mucho y no concentran su energía en la zona del ojo del observador.
Descartes demostró que para observar el arco iris debemos mirar las gotas con un ángulo de 42º respecto a la línea que une las gotas con el Sol y, tal como se ve en la siguiente figura, el radio ángular del arco iris es de 42º. Esto es lo que origina que lo veamos sobre un arco.
Grado de observación de las gotas
Observa que aunque el ángulo que forma el rayo rojo es de 42 º y el azul de 40º vemos el color azul en el interior del arco y el rojo en el exterior. Esto es debido a que miramos en la dirección de los rayos, la línea de nuestra mirada debe mantener 42º con la dirección que va al centro del arco iris.
Comprueba en la figura de más abajo como el rayo que viene del sol y el rayo del arco iris forma el mismo ángulo que el rayo del arco iris y el que va del observador al centro del arco.(Ángulos alternos internos).
Punto observación entre el rayo del sol y del arcoiris
Punto observación cuando llueve
jueves, 19 de noviembre de 2015
PROYECTO DESCARTES
Os presento una Red educativa digital: Proyecto Descartes donde encontraréis una plataforma online para entender los conceptos de como:
- Calcular las razones trigonométricas de un ángulo.
- Hallar todas las razones trigonométricas de un ángulo a partir de una de ellas.
- Resolver triángulos rectángulos cuando se conocen dos lados o un lado y un ángulo.
- Resolver situaciones relacionadas con la geometría en las que se precise calcular ángulos y distancias entre dos puntos.
- Utilizar la calculadora para obtener razones o ángulos.
Descúbrelo AQUI
CONTENIDOS
1.Los ángulos y su medida
Recorridos en la circunferencia
Radianes
Grados sexagesimales
De radianes a grados
Midiendo ángulos
2.Razones trigonométricas
Razones trigonométricas
Sen y cos en la circunferencia
Tangente en la circunferencia
Razones de 30º, 45º y 60º
3.Relaciones trigonométricas
Relaciones fundamentales
4.Resolver triángulos rectángulos
Con un ángulo y la hipotenusa
Dados un ángulo y un cateto
Conocidos dos lados
5.Razones de ángulos cualesquiera
Seno
Coseno
Tangente
6.Aplicaciones de la trigonometría
Resolver problemas métricos
CONTENIDOS
1.Los ángulos y su medida
Recorridos en la circunferencia
Radianes
Grados sexagesimales
De radianes a grados
Midiendo ángulos
2.Razones trigonométricas
Razones trigonométricas
Sen y cos en la circunferencia
Tangente en la circunferencia
Razones de 30º, 45º y 60º
3.Relaciones trigonométricas
Relaciones fundamentales
4.Resolver triángulos rectángulos
Con un ángulo y la hipotenusa
Dados un ángulo y un cateto
Conocidos dos lados
5.Razones de ángulos cualesquiera
Seno
Coseno
Tangente
6.Aplicaciones de la trigonometría
Resolver problemas métricos
Para cualquier duda disponéis además de un vídeo explicativo de las actividades.
EDUCAPLAY
Me gustaría enseñaros un recurso interactivo para adoptar una competencia básica en la trigonometría:
Actividades Educativas multimedia para cualquier dispositivo usando la tecnología HTML5.
Cuenta con actividades de : Mapa, Adivinanza, Completar, Crucigrama, Diálogo, Dictado, Ordenar letras o palabras, Relacionar, Sopa, Test y Colección. Los enunciados están elaborados con texto, imagen y sonido, lo cual es muy atractivo.
Os recomiendo esta sección donde encontraréis más de 100 tipos de actividades AQUÍ
miércoles, 11 de noviembre de 2015
Apertura del Blog
Máster de profesorado 2015-16
Matemáticas
BIENVENID@S!! ESPERO QUE LES AGRADE Y SIRVA DE UTILIDAD
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